論理和と否定の真理値を順に確かめる
基本情報技術者試験 平成31年度春期 午前 問3 ／ 基礎理論 › 離散数学
過去問にチャレンジ
P，Q，Rはいずれも命題である。命題Pの真理値は真であり，命題 (not P) or Q 及び命題 (not Q) or R のいずれの真理値も真であることが分かっている。Q，Rの真理値はどれか。ここで，X or Y は X と Y の論理和，not X は X の否定を表す。
- ア
Q：偽，R：偽
- イ
Q：偽，R：真
- ウ
Q：真，R：偽
- エ
Q：真，R：真
会話形式の解説
講師二つの論理和を順に見ます。まず、Pが真ならnot Pはどうなりますか。
受験者not Pは偽です。すると、最初の論理和を真にするにはQが真である必要があります。
講師そのとおりです。QとRがともに偽の組合せでは、not PもQも偽なので、最初の条件を満たしません。
受験者Qが偽でも、Rが真なら条件を満たせませんか。
講師Rは最初の論理和には含まれていません。Qが偽でRが真の組合せも、最初の論理和が偽になります。
受験者ではQは真です。次は、not Qが偽になるのですね。
講師はい。二つ目の論理和を真にするには、Rが真でなければなりません。Qが真でRが偽の組合せでは、両方の項が偽になります。
受験者QとRがともに真なら、二つの条件をどちらも満たします。
講師最初の論理和はQによって真になり、二つ目はRによって真になります。正解はエです。
受験者先にQを確定し、その値を使ってRを確かめればよいのですね。
講師はい。論理和は少なくとも一方が真なら真です。複数の条件は、確定した真理値を次の条件に当てはめて考えます。
まとめ
Pが真なのでnot Pは偽です。最初の論理和が真となるにはQが真でなければなりません。するとnot Qは偽なので、二つ目の論理和が真となるにはRも真である必要があります。したがって、QとRがともに真のエが正解です。
解答・解説
正解はエです
この問題のテーマ
論理和と否定の真理値を使い、二つの条件を満たすQとRの組合せを求める問題です。
解き方の考え方
Pが真なので、not Pは偽です。それでも最初の論理和が真になるには、Qが真でなければなりません。するとnot Qは偽ですから、次の論理和を真にするにはRも真である必要があります。
選択肢ごとの解説
- ×ア Q：偽，R：偽QとRをともに偽とする組合せです。not PもQも偽となり、最初の論理和が真という条件を満たしません。
- ×イ Q：偽，R：真Qを偽、Rを真とする組合せです。Rが真でも、not PとQがともに偽なので、最初の論理和は偽になります。
- ×ウ Q：真，R：偽Qを真、Rを偽とする組合せです。Qが真ならnot Qは偽なので、二つ目の論理和が偽になってしまいます。
- ○エ Q：真，R：真QとRをともに真とする組合せです。最初の論理和はQによって、二つ目はRによって真となり、与えられた条件をすべて満たします。
POINT
- 命題が真なら、その否定は偽になります。
- 論理和は、少なくとも一方が真なら真です。
- 条件が複数あるときは、前の条件で確定した真理値を次の条件に当てはめます。