兼任できる二つの役職は何通りに決まる？
ITパスポート試験 令和元年度秋期 問72 ／ 基礎理論 › 応用数学
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3人の候補者の中から兼任も許す方法で委員長と書記を1名ずつ選ぶ場合，3人の中から委員長1名の選び方が3通りで，3人の中から書記1名の選び方が3通りであるので，委員長と書記の選び方は全部で9通りある。5人の候補者の中から兼任も許す方法で委員長と書記を1名ずつ選ぶ場合，選び方は何通りあるか。
- ア
5
- イ
10
- ウ
20
- エ
25
会話形式の解説
講師注目するのは、委員長と書記を区別することと、同じ人が両方を兼ねられることです。
受験者委員長を選んだら、書記は残り4人から選ぶと思いました。
講師それは兼任できない場合の数え方です。今回は委員長になった人も書記になれるので、書記の候補は5人のままです。
受験者では、委員長の選び方ごとに、書記も5通りあるのですね。
講師はい。委員長が5通り、そのそれぞれについて書記が5通りなので、5×5＝25通りです。
受験者5通りでは、委員長を選んだところまでしか数えていませんね。
講師その通りです。書記の割当てが含まれていません。
受験者10通りは、役職を決めずに異なる2人を選んだ数でしょうか。
講師はい。10通りでは役職を区別せず、兼任も含みません。20通りは役職を区別しますが、書記の候補を4人に減らした場合の数です。
受験者今回は二つの役職を区別し、同じ人の兼任も含めるので、25通りですね。
講師その通りです。問題文の3人の場合も3×3で数えています。「兼任も許す」なら、二つ目の役職の候補者を減らさないことがポイントです。
まとめ
委員長と書記は異なる役職なので、それぞれの選び方を掛け合わせます。兼任できるため、委員長を決めた後も書記は5人から選べます。したがって、5×5＝25通りで、正解はエです。
解答・解説
正解はエです
この問題のテーマ
兼任できる二つの役職に、5人の候補者を割り当てる場合の数を問う問題です。
解き方の考え方
まず委員長を選び、その選び方ごとに書記を何通り選べるかを考えます。兼任できるので、委員長が決まった後も書記の候補は5人のままです。したがって、5×5＝25通りで、正解はエです。
選択肢ごとの解説
- ×ア 5アの5通りは、委員長だけを選ぶ場合の数です。書記の選び方がまだ含まれていないため、二つの役職の割当ては数え尽くせません。
- ×イ 10イの10通りは、役職を区別せず、異なる2人を選ぶ場合の数です。この問題では誰を委員長にし、誰を書記にするかを決め、同じ人の兼任も認めるため、当てはまりません。
- ×ウ 20ウの20通りは、兼任を認めない場合の5×4という計算結果です。この問題では委員長になった人も書記になれるので、書記の選び方を4通りに減らしません。
- ○エ 25エの25通りは、委員長の5通りそれぞれについて、書記を5通りから選んだ結果です。5×5＝25となり、問題文の3人の場合の3×3＝9という数え方とも一致します。
補足
同じ人が両方の役職に就く場合も、数に含めます。「兼任も許す」という条件を見落とさないことが大切です。
POINT
- 役職ごとに選び方を数え、組合せの総数は掛け算で求めます。
- 兼任できるなら、一つ目の役職を決めても二つ目の候補者は減りません。
- 兼任できない場合は、一つ目に選んだ人を二つ目から除きます。