並列システムの稼働率から最低限必要な装置台数を求めるには
ITパスポート試験 令和7年度 問94 ／ システム構成要素 › システムの評価指標
過去問にチャレンジ
稼働率0.9の装置で並列システムを構成したい。このシステムの稼働率を0.999とするためには，最低何台の装置で並列システムを構成する必要があるか。ここで並列システムを構成したときに，少なくとも1台の装置が稼働していればシステムは正常に稼働しているものとする。
- ア
2
- イ
3
- ウ
4
- エ
5
会話形式の解説
講師今回は並列システムの稼働率の計算です。稼働率とは、システムが正常に動いている確率のことです。ポイントは、並列システムが「いつ止まるのか」を考えることです。
受験者稼働率0.9の装置を並べるので、0.9×0.9のように掛け算していけばよいのでしょうか。
講師それは直列システムの計算方法です。並列で同じように掛け算すると、0.9×0.9＝0.81となって、台数を増やすほど稼働率が下がってしまいます。装置を増やして守りを固めているのに、下がるのはおかしいですよね。
受験者たしかにそうですね。問題文には、少なくとも1台が動いていれば正常とあります。ということは、止まるのは全部の装置が同時に故障したときだけ、という理解でよいですか。
講師そのとおりです。そこで、各装置は独立に故障するものとして「全台が停止する確率」を求め、1から引きます。装置1台が停止している確率は1−0.9＝0.1なので、n台並列の稼働率は1−0.1のn乗になります。
受験者では2台から試してみます。2台だと1−0.1×0.1＝1−0.01で0.99です。目標の0.999には届きません。
講師はい、2台では足りません。次に3台ではどうなりますか。
受験者1−0.1×0.1×0.1＝1−0.001で0.999です。ちょうど目標を満たしました。
講師正解です。4台なら0.9999、5台なら0.99999と目標を上回りますが、問われているのは「最低何台か」です。3台で目標に達している以上、4台や5台は答えになりません。
受験者1台増やすごとに停止確率が0.1倍になるので、稼働率は0.9、0.99、0.999と9が1つずつ増えていくのですね。0.999なら9が3つで3台、と覚えられそうです。
講師よい整理です。一般式で書くと、稼働率pの装置をn台並列にしたときの稼働率は1−(1−p)のn乗です。直列は各装置の稼働率の積、並列は「1から全台停止の確率を引く」と、計算方法が逆になる点を押さえてください。
講師なお、装置1台の稼働率そのものをMTBF÷(MTBF＋MTTR)で求める問題も出題されます。MTBFは平均故障間隔、MTTRは平均修理時間のことです。あわせて確認しておくと安心です。
まとめ
稼働率0.9の装置を並列につないだとき、システム全体の稼働率を0.999にするために最低限必要な台数を求める問題で、正解は3台です。並列システムは少なくとも1台が動いていれば正常で、止まるのは全台が同時に故障したときだけなので、稼働率は「1−(1−p)のn乗」で求めます。装置1台の停止確率は0.1なので、2台なら0.99、3台なら0.999となり、3台で初めて目標を満たします。4台や5台でも目標は上回りますが、「最低何台か」という問いの答えにはなりません。直列システムのように稼働率を掛け算してしまう取り違えに注意が必要です。
解答・解説
正解はイです
この問題のテーマ
稼働率0.9の装置を並列につないだとき、システム全体の稼働率を0.999以上にするには最低何台必要かを、並列システムの稼働率の計算式で求める問題です。
解き方の考え方
並列システムが止まるのは、すべての装置が同時に故障したときだけです。そこで「全台が停止する確率」を求め、1から引いて稼働率を出します。装置1台が停止している確率は1−0.9＝0.1なので、n台並列の稼働率はです。nを2、3と順に増やし、初めて0.999以上になる台数が答えになります。
選択肢ごとの解説
- ×ア 22台の場合、稼働率は1−0.1×0.1＝1−0.01＝0.99です。目標の0.999に届かないので、2台では足りません。
- ○イ 33台の場合、稼働率は1−0.1×0.1×0.1＝1−0.001＝0.999で、目標をちょうど満たします。2台では0.99にとどまるため、条件を満たす最小の台数は3台です。
- ×ウ 44台の場合、稼働率はで、目標を上回ります。ただし3台で目標に達しているので、「最低何台か」という問いの答えにはなりません。
- ×エ 55台の場合、稼働率はで、目標を大きく上回ります。それでも最小の台数ではないため誤りです。
補足
直列システムの稼働率は各装置の稼働率の積で求めるため、並列とは計算方法が逆になります。並列なのに0.9×0.9のように掛け算してしまうと、台数を増やすほど稼働率が下がる結果になってしまうので注意してください。なお、装置1台の稼働率そのものはMTBF÷(MTBF＋MTTR)で求める問題も出題されます。
POINT
- 並列システムは少なくとも1台が稼働していれば正常に動き、止まるのは全台が同時に故障したときだけです。
- 稼働率pの装置をn台並列にしたときの稼働率は、で求めます。
- 稼働率0.9の装置なら、1台増やすごとに停止確率が0.1倍になり、稼働率は0.9、0.99、0.999と「9」が1つずつ増えます。
- 「最低何台か」と問われたら、目標を初めて満たす台数を選びます。