分数式の極限で分子と分母の次数をどう比べるか

基本情報技術者試験令和元年度秋期午前問4 ／基礎理論 › 応用数学

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令和元年度秋期午前問4

$a$ 及び $b$ を定数とする関数 $f(t) = \frac{a}{t + 1}$ 及び $g(t) = \frac{b}{t^2 - t}$ に対して， $\lim_{t \to \infty} \frac{g(t)}{f(t)}$ はどれか。ここで， $a \neq 0, b \neq 0, t > 1$ とする。

ア
0
イ
1
ウ
$\frac{b}{a}$
エ
∞

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講師

関数の比を一つの分数式に整理してから、分子と分母がどう変わるかを見ましょう。

受験者

g(t)をf(t)で割ると、どのような式になりますか。

講師

g(t)/f(t) = (b/a) \times (t + 1)/(t^{2} - t)

です。aとbは0でない定数なので、まずtを含む分数に注目できます。

受験者

分母に

t^{2}

がありますが、このままでは極限を追いにくいです。

講師

分子と分母を同じ

t^{2}

で割ると、

(t + 1)/(t^{2} - t) = (1/t + 1/t^{2})/(1 - 1/t)

になります。分子は何に近づきますか。

受験者

1／tも

1/t^{2}

も0に近づくので、分子は0です。分母は1に近づきます。

講師

そのため分数全体は0に近づきます。定数b／aを掛けても極限は0で、0の選択肢が正解です。

受験者

分母が1に近づくので、1を選びそうになりました。分子の0も見ないといけませんね。

講師

はい。b／aも式に残りますが、それに掛かる分数が0に近づくため、極限はb／aにはなりません。

受験者

では、∞も違いますね。分母の

t^{2}

の項は、分子のtの項より速く大きくなります。

講師

そのとおりです。分数式の極限では、分子と分母を同じ最高次数の項で割り、それぞれの極限を確かめると判断しやすくなります。

まとめ

g(t)／f(t)を整理すると、

(b/a) \times (t + 1)/(t^{2} - t)

です。分子と分母を

t^{2}

で割ると、t→∞で分子は0、分母は1に近づきます。したがって、定数b／aを掛けた比の極限も0です。

解答・解説

正解はアです

この問題のテーマ

関数の比を整理し、分子と分母の次数から極限を求める問題です。

解き方の考え方

まず、g(t)をf(t)で割ると、

g(t)/f(t) = (b/a) \times (t + 1)/(t^{2} - t)

です。分数の分子と分母を

t^{2}

で割ると、

(t + 1)/(t^{2} - t) = (1/t + 1/t^{2})/(1 - 1/t)

となります。t→∞では分子が0、分母が1に近づくので、定数b／aを掛けた極限も0です。

選択肢ごとの解説

○ア 0
アの0は、計算した極限と一致します。したがって、この選択肢が正解です。
×イ 1
イの1にはなりません。分母を $t^{2}$ で割った後は1に近づきますが、分子は0に近づくため、分数全体は1になりません。
×ウ $\frac{b}{a}$
ウのb／aは、比の式に含まれる定数部分です。それに掛かる $(t + 1)/(t^{2} - t)$ が0に近づくので、極限はb／aにはなりません。
×エ ∞
エの∞は、比が限りなく大きくなる場合の値です。この式では分母の $t^{2}$ の項が分子のtの項より速く大きくなり、比は0に近づきます。

POINT

分数式の極限では、分子と分母を同じ最高次数の項で割ると、各項の動きを確かめやすくなります。
分母の次数が分子より高い分数式は、分母が0に近づかない形に整理すれば、極限を判断できます。
0でない定数を掛けても、0に近づく値の極限は0です。

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